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标题: 解析 | NOIP2018普及组问题求解+程序阅读+完善程序 [打印本页]

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作者: 甜甜圈    时间: 2018-10-23 14:05
标题: 解析 | NOIP2018普及组问题求解+程序阅读+完善程序

第二十四届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛

普及组解析

二、问题求解（每题5分，共10分）

1. 甲乙丙丁四人在考虑周末要不要外出郊游。

已知①如果周末下雨，并且乙不去，则甲一定不去；②如果乙去，则丁一定去；③如果丙去，则丁一定不去；④如果丁不去，而且甲不去，则丙一定不去。如果周末丙去了，则甲  去了（去了/没去）(1分)，乙  没去（去了/没去）(1分)，丁  没去（去了/没去）(1分)，周末  没下雨（下雨/没下雨）(2分)。

解析：

• ③如果丙去，则丁一定不去。由于丙去了，所以丁没去。
• ②如果乙去，则丁一定去。丁没去，说明乙没去，否则丁就要去了。
• ④如果丁不去，而且甲不去，则丙一定不去。说明甲去了，否则丙也不去。
• ①如果周末下雨，并且乙不去，则甲一定不去。说明周末没下雨，否则甲也不去。
  
  

2. 从1到2018这2018个数中，共有______个包含数字8的数。

包含数字8的数是指有某一位是“8”的数，例如“2018”与“188”。

答案：544

解析：

按照个位数有8、十位数有8（个位数没有8）、百位数有8（十、个位数没有8）来累加计算。

• 个位数有8的数：
  8、18、…、2018，每加10有一个8。令2018 = 8 + x*10，得到x = 201
  总共有x+1=202个数（+1表示8这个数）
• 十位数有8（个位数没有8）的数:
  先假设个位数为0，分析80、180、…、1980，每加100有一个8。令1980 = 80 +x*100，得到x = 19，总共有x+1 = 20个
  个位数有9种选择（排除8）：80、81、…、87、89。总共有20*9 ＝ 180个数（乘法原理）
• 百位数有8（十、个位数没有8）的数：
  假设十、个位数都为0，分析800、1800，一共2个
  十位数9种选择、个位数9种选择，一共81种选择。总共有2*81 =162个数
  
  

于是，总共有202+180+162=544

三、阅读程序写结果（每题8分，共32分）1.
#include<cstdio>
char st[100];
int main() {
  scanf("%s", st);
  for (int i = 0; st; ++i) {
    if ('A' <= st && st <= 'Z')
    st += 1;
  }
  printf("%s\n", st);
  return 0;
}

输入：QuanGuoLianSai
输出：_________

解析：
首先这是c风格的代码，cstdio、scanf、printf这些要知道是什么意思，如果不知道就猜测一下也可以，总是先输入、最后输出。

• for (int i = 0; st; ++i)的st是什么意思？
  

       for语句里，第二个是布尔表达式，结果是“真”或“假”
       st是char，其ASCII码为0的时候，转成布尔值结果是“假”，否则为“真”
       所以for语句意思是枚举每个元素，直到’\0’就退出循环

• for里面的if：
  

       大写字符的时候，就加1，总共：Q->R、G->H、L->M、S->T
       小写字符不变


于是，输出结果是：RuanHuoMianTai

答案：RuanHuoMianTai

2.
#include <cstdio>
int main() {
  int x;
  scanf("%d", &x);
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < x; ++i) {
    if (i * i % x == 1) {
      ++res;
    }
  }
  printf("%d", res);
  return 0;
}

输入：15
输出：_________

解析：
枚举i从0到x-1的数，如果i*i % x == 1就计数，输出计数。
直接模拟（x=15），一共4个++：

答案：4

3.
#include <iostream>
using namespace std;
int n, m;
int findans(int n, int m) {
  if (n == 0) return m;
  if (m == 0) return n % 3;
  return findans(n -1, m) -findans(n, m -1) + findans(n -1, m -1);
}
int main(){
  cin >> n >> m;
  cout << findans(n, m) << endl;
  return 0;
}
输入：5 6
输出：_______

解析：
1）递归题，看代码看到往下递减，一直到某个参数为0。
2）分析：

• 画出n从0到5、m从0到6的表格，每个格子表示函数的值
• f(n,m) = f(n-1,m) - f(n,m-1) + f(n-1,m-1)，也即上+左上-左。
• 从代码可以看到n=0或m=0都直接返回结果，即第一行和第一列。
• 于是：由第一行、第一列的初始值，算出最右下的格子。
  

3）表格如下

• 第一行n=0，值是m
• 第一列m=0，值是n%3
• 根据第一行、第一列依次往下累加（每个格子=上+左上-左）
• 
  

答案：8

4.
#include <cstdio>
int n, d[100];
bool v[100];
int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    scanf("%d", d + i);
    v = false;
  }
  int cnt = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (!v) {
      for (int j = i; !v[j]; j = d[j]) {
        v[j] = true;
      }
      ++cnt;
    }
  }
  printf("%d\n", cnt);
  return 0;
}

输入：10 7 1 4 3 2 5 9 8 0 6
输出：_________

解析：
第一步（模拟）：
1）输入：

• 先输入n = 10
• 再输入10个数给d数组
• 初始化v数组都为false
  

2）模拟：枚举的代码，如果没有写过类似代码，就先模拟看能否理解。

• 模拟枚举里的i=0（第一轮）
• 初始：cnt=0，v[0] = false，if判断成立，进入分支
• for：
  
  • j=0，判断!v[0]成立，v[0]设为true，然后j=d[0]=7
  • j=7，判断!v[7]成立，v[7]设为true，然后j=d[7]=8
  • j=8，判断!v[8]成立，v[8]设为true，然后j=d[8]=0
  • j=0,，判断!v[0]不成立，退出循环
    
• cnt加1，变成1
• 注意v数组变化，已经访问过的下标0、7、8、9都为true
  

3）如果还没有理解，就继续模拟。

• 模拟枚举里的i=1（第二轮）
• 初始：cnt=1, v[1]=false，if判断成立，进入分支
• for：
  
  • j=1，判断!v[1]成立，v[0]设为true，然后j=d[1]=1
  • j=1，判断!v[1]不成立，退出循环
    
• cnt加1，变成2
• 注意v数组变化，现在0、1、7、8、9都为true
  

第二步（理解）：

• d数组，下标i=0..9表示节点，d表示i节点连接的节点
  

          用表格表示d数组，第一行为下标0..9，第二行为输入值

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
d	7	1	4	3	2	3	9	8	0	6

         画出图如下：

现在结合刚才的模拟过程，如果你能理解代码的意思，就会知道这是找连通分量数（连通分量是指极大连通子图），答案是6个:

• 0 -> 7 -> 8 -> 0
• 1 -> 1
• 2 -> 4 -> 2
• 3 -> 3
• 5 -> 3
• 6 -> 9 -> 6
  

第三步（继续模拟）：
如果根据模拟理解不出代码的含义，也没有关系，继续往下模拟，最后也能得出答案为6（这个过程就不细述了，请自己实现）。

四、完善程序（共28分）

第一题 最大公约数之和

  下列程序想要求解整数n的所有约数两两之间最大公约数的和对10007求余后的值，试补全程序。（第一空2 分，其余3 分）

举例来说，4的所有约数是1,2,4。1和2的最大公约数为1；2和4的最大公约数为2；1和4的最大公约数为1。于是答案为1 + 2 + 1 = 4。

要求 getDivisor 函数的复杂度为n(√n)，gcd 函数的复杂度为0(log max(a, b))。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110000, P = 10007;
int n;
int a[N], len;
int ans;
void getDivisor() {
  len = 0;
  for (int i = 1; (1) <= n; ++i)
    if (n % i == 0) {
      a[++len] = i;
      if ( (2) != i) a[++len] = n / i;
    }
}

int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) {
   (3) ;
  }
  return gcd(b, (4) );
}

int main() {
  cin >> n;
  getDivisor();
  ans = 0;
  for (int i = 1; i <= len; ++i) {
    for (int j = i + 1; j <= len; ++j) {
      ans = ( (5) ) % P;
    }
  }
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

解析：1）首先理解一下几个函数的用途：

• getDivisor：分解出n的约数（存储到a数组）
• gcd函数：辗转相除法求最大公约数
• main：
  

       调用getDivisor分解约数
       对所有约数两两求最大公约数，累加求余
2）完善过程

• 先把gcd函数（辗转相除法求最大公约数）补充完全：
  

3 ⃣  ->  return a

4 ⃣  ->  a % b  

• main函数里调用gcd函数累加求余：
  

5 ⃣  ->  ans + gcd(a, a[j])

3）完善getDivisor：

1 ⃣  ->  i*i   。（题目提示了复杂度为0(√n)）

2 ⃣  ->  n/i  。（与i*i对应，每次求出一个约数，就同时求出另一个）

第二题 右侧第一个更大值

对于一个1到n的排列P（即1到n中每一个数在P中出现了恰好一次），令qi为第i个位置之后第一个比Pi值更大的位置，如果不存在这样的位置，则qi = n+ 1。
举例来说，如果n = 5且P为1 5 4 2 3，则q为2 6 6 5 6。

下列程序读入了排列P，使用双向链表求解了答案。试补全程序。（第二空2 分，其余3分）

数据范围 1 ≤ n≤ 105。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int L[N], R[N], a[N];
int main() {
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    int x;
    cin >> x;
   (1) ;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    R = (2) ;
    L = i - 1;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    L[ (3) ] = L[a];
    R[L[a]] = R[ (4) ];
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    cout << (5) << "";
  }
  cout << endl;
  return 0;
}

解析：
对于本题，如果不理解代码的算法，也可以直接猜答案，因为这道题的线索提示比较明显。至少可以猜对4个空！

1）第一个for：

• 意思：输入n个数，放到a数组
• 1  ⃣  ->   a[x] = i ， 这个空猜不出来正常，可放弃
• 题目序列是P，代码里却是a，能根据这两点想到a和p不同的话，也许可以猜到答案。
  

2）第二个for：

• 初始化R数组和L数组（看不懂可以略过，没事，不影响猜答案）
• 看L = i – 1 就能猜出上一句： 2  ⃣  ->  i+1  
  

3）第三个for：

• 从小到大删除链表元素（看不懂可以略过，没事，不影响猜答案）
• 看R[L[a]] = R[ (4) ]猜上一句： 3  ⃣  ->   R[a]
• 看L[ (3) ] = L[a] 猜下一句：4  ⃣  ->  a  
  

4）第四个for：

• 题目要求，找到右侧第一个更大的位置, 肯定是R数组（right的意思）。
• 猜输出： 5  ⃣  ->  R  
  

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作者: Cappuccino    时间: 2018-10-27 09:23
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作者: 双鱼YY    时间: 2019-1-14 12:34
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作者: 双鱼YY    时间: 2019-1-14 12:41

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作者: 世君虹宇    时间: 2019-6-30 07:09
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作者: tbh_01    时间: 2020-1-13 10:36
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