2014年春季数学班班贴-请家长搜藏，方便查阅

吴慧东

对于这学期的数学学习，赵老师是这样安排的：

• 1-7次课上相似三角形
• 之后因式分解
• 后半期：针对临诊考试学习：复习回顾教材内容
  

希望大家根据课程安提前预习和复习，这样学习起来更加轻松。图片作为辅助参考

第一讲【知识点】：

1.线段的比：a/b

2.成比例线段：四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段。

注意：线段a、b、c、d是有顺序的。  

对于关系式a:b=c:d   

d为比例外项；b、c是比例内项，又称为比例中项； d为第四比例项

3.a/b=c/d⇒ad=bc   这为比例的第一条性质：内项积=外项积

4.a/b=c/d⇒a/b±1=c/d±1⇒(a±b)/b=(c±d)/d⇒(a±nb)/b=(c±nd)/d   这为比例的第二条性质：合比性质（可直接写作红色部分）

5.a_1/b_1 =a_2/b_2 =…=a_n/b_n ⇒a_(1+a_2+…+a_n )/(b_1+b_2+…+b_n )=a_1/b_1 (b_1+b_2+…+b_n≠0)这是比例的等比性质  

6.比例尺=图上距离/实际距离

7.黄金分割

如果AC/AB=BC/AC则C 点为黄金分割点

黄金三角形：

        等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2.

        等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比：(√5-1)/2.

讲完知识点之后，赵老师便让大家练习，巩固知识，当堂为大家解答问题，请大家课后预习相似三角形。

课后作业：练习题2-17题

3月1日：第二讲：相似三角形

1.△ABC与△A'B'C'形状一样，则我们说△ABC与△A'B'C'相似，写作△ABC∽△A'B'C'

2.由以上可得：

①∠A=∠A'   ∠B=∠B'   ∠C=∠C'

②AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'

相似三角形性质：①对应角相等，对应边成比例

                         ②相似三角形里面对应线段成比例，比值一样 →相似三角形的对应线段成比例，等于相似比，对应的面积比=相似比的平方

3.

如上图所示，根据所给出的条件我们可以得出，图中相对应的三角形相似，这上面的两个图是我们在解答相似三角形问题中常遇到也是解题常常需要找到的条件，请同学们牢记！

在讲解完以上的知识点之后，便是让同学们练习，相似三角形这里，需要做大量的练习，巩固知识，知识点看起来不多，但是用到机会很多，在练习题过程中，同学们都积极的回答老师的问题，对于自己错了的地方，大家给予改正，并且提出自己的疑问，让赵老师解答，所以请大家继续保持这样的学习方式与劲头，争取能够做的更好。

对于上次课的作业，赵老师也给大家批改了，有3位同学得满分：陈泽语，贺轩，王浩，我们给予最热烈掌声鼓励！希望继续保持，大多数同学的成绩在90~98之间，请大家记得检查作业，不要有马虎的地方，也有极少数同学在80几分，希望这些同学能够加油！

3月8日 第三讲

从这一节开始，就是我们学习的重点开始啦~~~大家要加油了哟

今天给大家讲的主要是相似三角形的一些判定定理

证明：∵DE//BC

           ∴∠ADE=∠ABC

          又∵∠BAC=∠DAE

             ∴△ADE∽△ABC

            ∴AB/AD=AC/AE

            即：（AD+DB）/AD=(AE+EC)/AE

               ∴DB/AD=EC/AE

根据以上证明我们可以退出推出：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似

射影定理

射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）BD2=AD·DC， （2）AB2=AD·AC ， （3）BC2=CD·CA。
直角三角形射影定理的证明：
在△BAD与△BCD中，

∵∠ABD+∠CBD=90°

且∠CBD+∠C=90°

∴∠ABD=∠C

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD2=AD·DC。

其余同理可得可证

有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA

注：使用射影定理时请大家一定要用中文注明：由射影定理得然后我会将成绩和讲义的答案传到家长群里面，请大家下载来看哟

3月15日 第四讲：相似三角形练习

这节课主要是以练习为主，让同学们对相似三角形的知识点进行巩固，需要用到的知识要点是相似三角形性质，相似三角形的判定。

这两个知识点，前两节课，赵老师已经给大家讲解了，同学们在做题过程中，有不懂，可以翻看之前的讲义与知识点。

今天主要练习两大提醒，相似三角形的证明和相似三角形简单辅助线

首先我们来看看相似三角形的证明

这三道题是证明三角形相似的例题，遇到题目给出乘积式或者让我们证明乘积式的时候，首先请同学们把乘积式化成比例式，然后再去找我们需要的边在哪些三角形中，然后证明相似，得出你想要的式子

接下来我们来看看相似三角形简单辅助线

这道题是相似三角形简单辅助线的例题，对于遇到三角形做相似时候，我们需要找到基本图形，赵老师给么讲过了哪些图形呢？有A字形，八字形，燕尾形，K字形，这些图形都是在相似三角形中比较重要的特点图形，我们只需要在构造一个这种图形，证三角形相似就很简单啦，如果你在做题时，实在是找不到我们讲过的基本图形的话，就请你拿起笔，做辅助线，帮助你分析题目。

好啦，今天的内容就是这么多啦，主要是练习时间，我给大家写出了比较典型的题目和大家不明白的题目的解题步骤，希望大家能够看得懂。

今天的作业时能力提高和作业过关。

下节课，我们就要讲到相似三角形应用咯，大家做好准备了么？

上次课的作业答案，我会附在班贴上，请大家下载参考。

3月22日第五讲：相似三角形应用

从这次课开始到第7次课，对于同学们来说就是一个难点和考点，相似三角形的应用时，我们需要大家一定要去构造相似三角形，这样对于计算和分析题目都会有很大帮助。

首先我们来看看相似三角形应用时我们会遇到哪些类型的题目

由于这次课讲解的需要画图，所以我都是导入的图片，如果看不清楚，请大家自己下载下来查看，在做这类型题目时，请大家一定要注意单位是否一致，应用题一定要答，注意解题格式哟，这三道例题主要是给大家展示答题格式。

接下来呢便是同学们自己的练习时间，在这里我需要给大家提醒一下：家庭作业交的是讲义的同学，请大家在老师批改完后将成绩拿到我这里登记哟，不然我这里你的成绩就为空哟~~~

上次课的作业答案，我会附在班贴上，请大家下载参考。在课上最后一题没有听懂和整理好答案的同学，可以参考一下我上传的答案哟~~

3月29日第6讲

在这里首先提醒一下：下次上课时间是4月5日，不要记错了哟

这节课讲的相似三角形的压轴题型，共有4种题型，接下来我会给大家介绍一下

题型4是每次考试考相似三角形的压轴题，请大家多多注意这类题型哟！

接下来呢便是同学们自己的练习时间，在这里我需要给大家提醒一下：家庭作业交的是讲义的同学，请大家在老师批改完后将成绩拿到我这里登记哟，不然我这里你的成绩就为空哟~~~上次课的作业答案，我会附在班贴上，请大家下载参考。

4月5日 第七讲：相似三角形中考

这节课是相似三角形中最后的一讲，主要是给大家讲在中考中如何考相似三角形，并且从下次课开始，每次课前20分钟做课前测试，帮助大家理解一下临诊考试。

题型一：A卷难度题训练

例1：如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求证：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；

（i）当点P与A，B两点不重合时，求DP/PQ的值；

（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

例2：:如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=9/2a时，P、Q两点间的距离 （用含a的代数式表示）．

题型二：B卷难度题训练例3：在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒√3厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由：（2）若∠ABC=60°，AB=4√3厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系.以图 1 为例说明理由.   

4月13日 第八讲

从这节课开始，我们便正式进入零诊考试复习中，这是非常重要的，请大家一定要仔细听讲。

这节课我们讲的是不等式，首先来看看有哪些知识点

1.不等式概念：

不等式：表示不相等关系的式子

一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的不等式

2.不等式性质：

①不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变

②基本性质：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变

③基本性质：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变

3.解不等式：注意易错点：区分解&解集

4.含参不等式这里分为:

①含参的方程  

②含参的不等式

解题步骤

含参方程

①把参数看成常数将未知数解出，结果里面含参数

②根据已知条件解出参数

③检验

含参不等式

①把参数看成常数将未知数解出，结果里面含参数

②课将含参数的结果表示在数轴上

③根据数轴情况判断参数大小（位置）

④判断是否取”=“

⑤写出结果

例1：如图，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图像相交于点A（3，2）。不等式（k2－k1）x＋b2－b1＞0的解集为_____

解：由题意可知2=3k1+b12=3k2+b23k1+b1=3k2+b23(k2-k1)=(b1-b2)

①当k1=k2时，b1=b2，则（k2-k1)x+b2-b1>0的解为空集

②k2>k1时，(b1-b2)/(k2-k1)=3（k2-k1)x+b2-b1>0的解为x>(b1-b2)/(k2-k1)=3x>3

③k2<k1时（k2-k1)x+b2-b1>0的解为x<(b1-b1)/(k2-k1)=3,即x<3经检验：x<3符合题意
例2：

这张卷子后面剩下的历年考题，希望同学们自己做，然后做完之后给赵老师看，下次我们将复习不等式应用，希望大家接下来能够自己复习一下

4月19日 第九讲：零诊复习二：不等式（组）应用

从上次课开始，每次课前20分钟进行测试，请大家准时上课哟

今天给大家复习的是不等式（组）应用

题型一：简单不等式应用题

这类型的题中考几乎不考，但是半期，期末，零诊的时候会考，但是还是得注意

例：有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住4人,则有20人无法安排住宿，若每间住8 人，则有一间宿舍不满也不空。问宿舍间数和学生人数分别是多少？

分析：这题需要注意的是：房间的数量是整数，所以当答案求出之后一定是整数。

题型二：不等式应用题（B卷26题）

这类型的题目是重点，通常有两种考查方式：①联系方程组和函数  ②分式方程应用题（可能性小）

例：某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．

（l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

分析：①这类题型，需要大家在草稿纸上列出表格，学会列表格，便于理解题意

           ②遇到第一个问的类型的问题时，一定要看清楚问题，这类题的解题技巧，不论它怎么问都先把总共有的方案总数写出来

解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，

依题意得  {8x+5(50-x)≤3494x+9(50-x)≤295，

解这个不等式组得：31≤x≤33，

∵x是整数，

∴x可取31，32，33，

∴可设计三种搭配方案

①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；

②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；

③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．；

（2）

方法一：

设成本为W元

W=200x+360(50-x)   

   =18000-160x

所以：x越大，w越小（这句话一定得写，不写会扣分）

故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×200+17×360=12720（元）

方法二：

方案①需成本31×200+19×360=13040（元）；

方案②需成本32×200+18×360=12880（元）；

方案③需成本33×200+17×360=12720（元），

∴应选择方案③，成本最低，最低成本为12720元．

这张卷子后面剩下的历年考题，希望同学们自己做，赵老师会抽几道题来讲，请大家一定下来自己做，不然就像今天赵老师给大家讲上次课留下的题一样，没做，听得云里雾里的，下次课依旧带上这张卷子

4月26日  第十讲  零诊复习三

下次上课时间：5月2日

今天是因式分解，在期末考试中会考到20分左右的题

一.因式分解

把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解{Factorization}，也叫作分解因式。

二.方法

1.提取公因式

2.公式法

3.十字相乘

4.分组分解（中考）

5.换元法

题型一：因式分解几种基本方法

1.提公因式法：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

2.公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

3.分组分解：

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

4.十字相乘

5.换元法

例1：(x^2+x)(x^2+x-1)-2

令x^2+x=a

原式=a^2(a-1)-2

       =a^2+a-2

       =(x^2+x-2)(x^2+x+1)

       =(x+2)(x-1)(x^2+x+1)

题型二：因式分解的应用

题型三：含参问题

这张卷子后面剩下的历年考题，希望同学们自己做，请大家一定下来自己做！

5月2日 第11讲 零诊复习四

今天我们复习的是分式，在之前的复习中有提到过这一讲的内容，希望大家还记得。

1.分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母（B≠0），那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。

2.分式的计算，这是一个考点，并且在考试评分过程中是会有过程分值。注意书写格式为以下格式

解：原式=

              =

在这次课的测试中，大家完全正确的人数有所增加，希望大家能够继续努力

接下来进入我们今天的题型分享吧！

题 型一：分式概念及计算

题型二：分式方程：在这里一定不能忘记的是：经检验！

题型三：含参分式方程：之前在讲含参问题时候已经讲过，可以回顾一下，解题时考虑分母

解题：

方程两边都乘（x-2）得，3x=x-2+m， 所以m=2x+2， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-2=0， 解得x=2， 所以m=2×2+2=6． 故选C．

题型四：分式方程应用

跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

   （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

   （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

解：(1)解：设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x-2）元．

由题意得：80/x-2=100/x．

解得：x=10．

检验：当x=10时，x（x-2）≠0

∴x=10是原分式方程的解．

x-2=10-2=8．

答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．

(2)设购进乙零件x个，甲零件(3x-5)个

x+3x-5≤95

4（3x-5)+5x＞371

解得23＜x≤25

∵x为整数

∴x=24,x=25

两种方案，

1. 购进乙零件24个，甲零件67个   

2.购进乙零件25个，甲零件70个

5月10日 第十二讲

今天开始三角形的证明的复习，在开始之前我们来提一下在这里我们该注意什么呢

1.三角形的内角和外角：

定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

定理：三角形的三个内角和为180度。

2.勾股定理应用的台风问题等

3.等腰三角形

①等腰三角形的两个底角度数相等（“等边对等角”）。

②等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（“等腰三角形的三线合一性质”）。

③等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

在今天的20分钟测试中，大家的情况和赵老师预期的有点差距，希望同学们能够好好的复习知识，不能丢了学过的 知识，让我们来看看这一讲，我们又有哪些题型需要分析呢？

例1：如果钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=...=P13P14=P14A,则角A的度数是（）

解：设∠A=α，

∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，

∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=α，

∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2α，

∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3α，

…，

∠P7P6P8=∠P8P9P7=7α，

∴∠AP7P8=7α，∠AP8P7=7α，

在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，

即α+7α+7α=180°，

解得α=12°，

即∠A=12°．

例2：:如图甲，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为2的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．

（1）如图乙，当BE=BA时，求证：△ABE≌△ADF；

（2）如图甲，当△AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；

1、证明：

∵等边△ABD

∴AB＝AD，∠BAD＝60

∵等边△AEF

∴AE＝AF，∠EAF＝60

∴∠BAE＝∠BAD-∠EAD＝60-∠EAD，∠DAF＝∠EAF-∠EAD＝60-∠EAD

∴∠BAE＝∠DAF

∴△ABE≌△ADF

2、解：将FG与AE的交点设为H

∵△ABE≌△ADF

∴∠AEB＝∠AFG

∵∠AEB+∠EHG+∠FGC＝180, ∠AFG+∠AHF+∠EAF＝180

∴∠AEB+∠EHG+∠FGC＝∠AFG+∠AHF+∠EAF

∵∠EHG＝∠AHF

∴∠FGC＝∠EAF＝60°

例3：数学课上，赵老师出示了如下框中的题目，

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1 ）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE(    )DB （填“＞”，“＜”或“=”）．

（2 ）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE(    )DB （填“＞”，“＜“=”），理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F。（请你完成以下解答过程）

（3 ）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E 在直线AB上，点D 在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长。（请你直接写出结果）

解：（1）答案为：=；
（2）答案为：=，
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
AB=BC=AC，
∵EF?BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD；
（3）解：分为四种情况：如图：


∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形，
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．如图2，


过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN?EM，
∴△BAN?△BEM，
∴=，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴=，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣=，
∴CD=2CM=1；如图3，


∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），
而∠EDC不能等于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；如图4


∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．

酉妈

谢谢吴老师

如果

谢谢吴老师，写得很详细，辛苦了

吴老师，辛苦了！3月8日的“射影定理”的图示中标注有错哈，特别提醒！

晋在眼前

写得很详细，谢谢吴老师，辛苦了

吴慧东

cq4226990 发表于 2014-3-12 10:53
吴老师，辛苦了！3月8日的“射影定理”的图示中标注有错哈，特别提醒！

已经改过来了，非常感谢你指出来~~谢谢

零度花香

零度花香

谢谢吴老师

小江（江万婷）

        5 月 17 日        第十三次课

     内容：
   
   平行四边形
   
      




      




      


   作业：第7题

吴慧东

上次课部分数学题答案，请家长自己下载来看