高中数学竞赛规划指南 | 我的金牌之路，也是你的金牌之路

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高中数学竞赛规划指南 | 我的金牌之路，也是你的金牌之路

     

  在2014年竞赛加分保送政策取消后，竞赛生如果想在竞赛直接取得高校优惠，途径无非决赛夺牌（强省省队签约）、暑期竞赛营、金秋营三次机会构成。我们早在“竞赛生的出路在何方？| 高中竞赛生态分析”一文中，分析了不同目标竞赛同学，应该明确的目标和努力的方向。

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竞赛学习的体系

基本知识普及+竞赛体系构建+专题内容讲座

基本上，以数学物理竞赛为例，高中竞赛的学习，基本上分为上述的三个阶段！

◆ 第一阶段，基本知识普及。

      这个知识既有高考内容的快速学习，也有竞赛最基本知识的学习。这个部分的内容，是高中教练能够覆盖的范围，尤其是竞赛一般省份，由于竞赛教练水平有限，教练能做好的，基本上就停留在第一阶段，甚至一些竞赛强省本校的教练，能做到的也是停留在这个层面。

◆  第二阶段，竞赛体系构建。

      这个阶段，竞赛生已经学习完了高考的全部内容，并且已经使用最基本的竞赛入门书籍，完成了竞赛基本内容的普及。接下来，就要深化对竞赛的理解，学习一些更加深入的竞赛内容。

      这个阶段，大部分高中教练，已经陆续出现乏力的情况，竞赛强弱学校自此分出层来。一些有竞赛传统的学校，就会组织已经保送的金牌学长，与低年级竞赛同学一起交流讨论，进行一个传递工作，竞赛教练的工作转入组织测试，批改试卷，寻找题目，统筹资源的阶段。

      也在这个阶段，一些真正有竞赛水平的同学被筛选出来，冲击省队。

◆  第三阶段，专题内容讲座。

      在完成了竞赛体系构建的工作后，竞赛生们开始开始他们最为劳顿的一个阶段，就是奔赴各地，追随知名竞赛教练，跟着他们的全国巡讲，听他们专题性质的讲座。

      这个阶段，竞赛教练基本的工作就是和各大中介机构联系，确定知名竞赛教练的排课情况，确定这个教练上课，然后组织学生前往集训。

      其实这个第三阶段，并不是严格意义上的第三阶段，比如数学的一些专题，在时间上，就穿插安排在竞赛体系构建中完成。

      竞赛生和竞赛家长都清楚为什么要上竞赛教练的专题课，但是各个同学的竞赛水平真的是在这个阶段被拉开的吗？

一定程度上不是。

      排除生源的因素，各个学校的竞赛水平到底在哪个阶段完全拉开，自然是构建知识体系的第二阶段而非追逐名师的第三阶段。因为第三阶段的课程，是完全公开的，竞赛教练在各个机构走穴上课，大家都是可以参加的。

      但是这种课程，总是百人以上，动辄两三百人，能够吸收多少，在参加这样专题课前，做好什么准备，才是拉开差距的最主要原因。

      这就是目前国内学科竞赛的学习体系。规划这一条竞赛之路，首先在于规划、确定竞赛学习的一个顺序，无论竞赛强省还是弱省，大量的竞赛书籍发挥着非常重要的作用，一本竞赛书籍讲解是否清楚、编写是否合理、是否能有启发性，将会直接决定竞赛学习的质量。

      本文将从一个数学竞赛的过来人的角度，按照时间顺序介绍数学竞赛的几个必经阶段，并介绍不同阶段对应的竞赛好书。以下的阶段是在数学竞赛体系中的不同阶段，与上述的竞赛三阶段有区别。

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初三暑假到高一上学期

      大部分学生的竞赛之路是从初三毕业的那个暑假开始的，虽然现在在竞赛一般省份，有低龄化的情况，但是这并不是主流，不必担心。在开始竞赛的第一阶段，需要把高考课内要求掌握的数学知识在较短的时间内学完，这一阶段的目标是非常清晰明确的。

      第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段，说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成，吃饱了上路。这一阶段的目标，清晰明确：配合老师的课堂教学，尽可能快地自学完成高考数学的绝大多数内容，在最短时间内达到高考的要求。

      在这一部分，并没有什么特别值得推荐的参考书，但是要强调，不是粗糙地快速过完高考课内内容，而是要达到高考的要求，不能只知识点不做题。

      高中的第一个学期，我期中考试数学分数非常低，这不是我个人的问题，而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。于是我的竞赛老师就自己搜集了一些高考的精华题，汇总，并且命制成了一套套的试题让我们练习。期末的时候，整个竞赛组的成绩已经统治整个年级。

      反观一些竞赛同学，高考内容学习的并不扎实，高考课内考得也不好，这个在后续竞赛学习时，也容易出现一些问题，毕竟根基比较空，这是不可取的，建议在学习高考内容时，不要全凭天赋，也要整理一些套路，这样即使未来竞赛出不来，回到高考和自主招生，学习方法层面不会出大问题。

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高一上学期到高一寒假

      第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习，是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。我建议你需要完成的事情是：学习一试的内容和平面几何的内容。

      对于一试部分的内容，我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》，注意是高一年级和高二年级的基础篇（只有基础篇）。学数学竞赛的人不可能没听说这一套书，这一系列共分三本，分别在封面注明了高一到高三三个年级。

      高一的这一本包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为一试内容（可能还包括一点二试的代数内容），题目非常典型且有难度，不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的。

      高二这本书基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数，提高篇基本就是二试内容了，不推荐在这个阶段完成。

      平面几何的内容，我只推荐一本书，这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书：《奥赛经典——奥林匹克数学中的几何问题》，主要由沈文选老师编写，湖南师范大学出版社出版。请你无视第二篇和第三篇关于立体几何和解析几何的内容，重点在第一篇。除了三四五六七章（从托勒密到九点圆）可以略看，不是考察重点，其他都要认真看。

      这本书的精华就在每一章节的基础知识部分，严密细致的总结归纳，堪称平面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理，不是一味的难或者水，刷的时候可以明显感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。

关于这一阶段的学习，还要多啰嗦几句：

      第一，一试二试两条线要穿插着进行。尤其是一试内容的学习，不仅是在这一阶段，在以后的过程中，都要保证常规的最低训练量。

      第二，这个阶段以及下一阶段，都是新知识学习的阶段，你的目标很明确：快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题，该放的果断放，必须保证一定的学习速度，但同时要保证质量，走马观花同样是大忌，建议题目的完成+阅读率在80-90％

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高一下学期到高一暑假

      第三阶段从高一下学期开始到高一结束后暑假的中期，是你一试实力进一步提升的阶段，同时也是你开始接触二试部分较难知识（数论、组合）的时期。一试在第二阶段已经说过，在第三阶段你要持续看那两本书。

二试还有三块重要的内容你需要接触：代数、数论和组合。

◆代数

      代数方面，和刷什么书相比更重要的事情是，先说清楚一个未公开的公认事实：代数不一定考，要考也只能是不等式或者数列函数等和一试紧密联系的部分。

      明面上代数的内容包括不等式、多项式、所有函数、数列、复数等内容，但实际上你需要真的把它当作二试内容来训练的，就只有不等式。

      不等式的内容，我当时练习的是高二年级的《奥数教程》提高篇不等式的部分，难度适中，没有什么特别的亮点，但是入门已经足够了（在这个阶段，不等式也不是你的准备重点）。

◆ 数论

       数论方面，我推荐必读书有两本：《奥数教程》高三年级里面的数论部分（第6-10讲以及第19、20讲），还有《数学奥林匹克小丛书高中卷10数论》，两本书均由余红兵老师编写。说起余老师，他绝对算得上是数学竞赛界数论这一块数一数二的老师，他编写的教材精致而有深度，这两本书是不得不刷的。

     《奥数教程》这一本，题目简单基础，非常适合入门阅读。它的闪亮之处，在于余老师给知识点和问题分析写下的注解，一步步引导你思考和挖掘问题，这是竞赛书籍里绝无仅有的，值得你一个一个字地细看深思。而小丛书那一本，就已经具有一定的难度了，题目非常典型和深刻，属于进阶的数论书，适合在入门后阅读。

◆组合

      组合方面，在这个阶段我推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷11组合数学》，由张垚老师编著。

      除了母函数这一节可以略看，其他几章章章都堪称精华，难度梯度设置合理，知识覆盖全面，题目典型而有深度，解答细致易懂。即便是入门书籍，它也已经具有了相当的难度，能真正看好这本书，全国联赛的组合基础题肯定是不在话下的。

      最后多说一句，组合和数论是二试内容中较难的两块，尤其是组合千变万化，思维性稍欠缺一点的同学会觉得很难上手。如果你在看书的时候觉得很吃力，一定要把速度降下来。

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从高一暑假到高二参赛

      第四阶段从高一结束暑假的中后期到高二开学不久的数学联赛。第二、三阶段都是竞赛内容全面铺开、构建知识网络的时期，是你储备知识，提高水平的发酵期，那么现在的第四阶段就是验收成果的时候了，你直面的就是数学联赛。

      学生在这一阶段会经历一个大爆发的过程，这一步究竟飞得有多高，直接取决于前两个阶段准备得怎样。

      这一阶段，我不再推荐新的书，你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。但是有一本刊物：《中等数学》，它每年到了暑假就会发行几本增刊，有一本收集了上一年全国乃至全世界各地的考题，有一本就是各省的竞赛名师专门为联赛命制的模拟题，后者是你准备联赛的利器。

      这本增刊一般都包括十几套模拟题，其中每一套你都要当作模拟考试一样限时完成，书写过程然后阅卷。

      需要注意的是，不同的老师有不同的喜好，命制的模拟题风格各异。整本增刊良莠不齐，大多数都是好的，但是个别的几套真的很过分（比如我当年遇到一套题，把一试题当作二试题出，全组一试的平均分不超过30分，一半同学0分或者8分），你需要自己判断。

      这一阶段通过练习联赛模拟题，预期的效果当然把你前期的积累转化为联赛的分数，说白了就是找找联赛的感觉。

      除此之外，学生的一试还会有很大的提升或者巩固，所以务必把你的一试错题整理收集，一定要保证所有的一试题是以下几种情况：正确完成；算错了的重新计算；不会的看过解答，弄明白了。

      另外在这阶段学生的二试成绩不会有硬实力的提高，所以如果遇到了一些看不太明白的二试题，就让它去吧。

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高二联赛后到高三联赛

      第五阶段从高二联赛结束到高二结束暑假的前中期。高二的联赛是一个分水岭。如果你的竞赛目标是强省的省队，国赛金牌，集训队甚至更远，下面的推荐适合你。如果你的目标没有这么远，剩下的内容你可以完全忽略，前几个阶段的事情，你大可放慢速度。

      我之前的推荐那些书，真正看好，就已经能够达到弱省省队和强省省一等奖的层次。

      高二联赛的准备，学生的一试、平面几何基本达到了联赛要求，这两块也不会是高二这一年的准备重点，学生的重心需要转移到剩下的三个内容上来，尤其是数论和组合。

◆代数

      关于代数，我的建议是刷完余红兵老师的《奥数教程》高三年级多项式部分即可。关于不等式，如果你想要练，建议是《数学奥林匹克小丛书高中卷5不等式的解题方法和技巧》，由苏勇和熊斌两位老师合著。

      之前说过的《奥数教程》高二年级的部分主要是针对重要的不等式，这一本书则是针对不等式的技巧方法，全面细致。

      关于代数部分的建议，学生根据自己的情况适当调整，不想刷也没关系，但是以下关于数论和组合的部分是必看的。

◆数论

      数论方面，只需做好一本书，不用再看其他的书，就可以达到冬令营的难度要求，甚至走得更远。这本书就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》，由冯志刚编写，上海科技教育出版社出版。

      这本书知识讲解几乎可以忽略，远没有余老师的书出色，但是这本书涵盖了大量的习题，简直就是数论这一块的黄金题库，题目的质量实在是太高（大多数都是很难的，尤其是第一章难度最高），一道道刷过来，数论的能力会有质的飞越。

◆组合

      组合方面，我推荐三本书，推荐首先阅读第一本：《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》，这是组合这一块综合性的大百科全书，除了第一二章可以略看，后五章要认真刷完，题量大，题目质量很高，对于组合能力的提升要很大的帮助。

      剩下的两本书，你可以根据需要选择其中一本刷。两本书是《数学奥林匹克小丛书高中卷13组合极值》以及《高中数学竞赛专题讲座——组合构造》，都是由冯越峰老师编著。上面收集的问题同样很精彩，尤其是后者，难度很大，有能力可以两本都刷，组合多练一些绝对错不了。

      最后一个建议是，如果学生平时有机会进行一些模拟考试，推荐这一阶段不要考联赛模拟题，难度要上升，需要尝试去考CMO，美国数学奥林匹克竞赛，有能力甚至可以去试试国家集训队测试、国家队选拔、罗马尼亚大师杯和IMO（在《走向IMO》系列丛书中都有收录）。

      如果说高二的联赛是够着去考的话，高三这一年需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度，才能够做到在联赛的考试中游刃有余。

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高二暑假到高三联赛

      第六阶段从高二结束暑假的后期到高三联赛。这一阶段，是学生在一系列拔高练习之后的回归期。在这一阶段，需要做好两件事。

      首先，把之前刷过的所有书都要过一遍，作为复习。这一个习惯很重要，而且很多人都没有这个习惯。

      第一遍看书时难免走得坑坑洼洼，有些题压根没看，有些题当时没看懂，现在是时候回过头来料理它们的时候了。你现在可以从一个更高的观点，去审视原来的问题，想想这道题是怎么来的？它的背后蕴藏了什么东西？这类技巧还经常在哪些题中出现？当时我为什么没有做出来？

      一切有意义、有价值的问题，你都可以去思考，然后把你的感悟记下来，这就是总结，它可以帮助你完善知识网络，加深印象，更重要的是它能够帮助你形成解题的经验。另外一个好处就是，当你发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么回事的时候，心情真是倍儿爽。

      其次，高二暑假出来的那一本《中等数学》的增刊需要完成。这一点无需我多说，你已经明白。

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从高三联赛到CMO

      第七阶段从高三联赛结束到中国数学奥林匹克竞赛（又称国赛、冬令营、CMO）。

      如果学生考进了省代表队，并且有资格参加国赛，那么数学竞赛之路还能继续往前走。联赛结束到国赛开始，还有一段时间，在这个阶段，学生需要刷的是三本书。

      其中两本是《数学竞赛研究教程》的上下册，还有一本就是《奥数教程学习手册》高三年级，在解答部分结束之后有两个专题：组合问题和数论问题，上面收集的题目和所做的注解非常棒。

      除了书之外，你还需要拔高难度去练习一些国家集训队测试、国家队选拔、美赛、罗马尼亚大师杯、IMO等试题，在《走向IMO》系列丛书中都有收录。

      如果你在国赛当中取得了不错的成绩，升学问题就不用担心了，我分享的经验也就到此结束。最后我想总结几点，作为提醒送给你：

    ◆竞赛书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟，我用我亲身经历和我看见的实例告诉你，很多时候一本书就足够练好一大块内容，一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来，不是因为你书刷得不够，而是你刷得不好。

    ◆竞赛书不能光看，一定要自己动笔练习。很多人习惯非常不好，只看不做，很多问题的解答非常精彩，你直接去阅读和你先动笔试试再去看，收获的东西是不在一个数量级上的。

    ◆看书的时候要养成动笔记录想法、观点的习惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一样，做出来了的打个勾，没做出来的画个圈，仅此而已。这是很糟糕的习惯。刷题时一定要记录一切有价值，有意义的东西，可以是不同于解答的新解法，可以是你的思考和感悟，也可以是你的困惑，总之一切你认为的闪光点，都值得记录。

    ◆切忌走马观花，但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端，有些人看书飘得很高，这样的人其实什么都学不到，最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美，总觉得我要无死角扫平这本书，但这是不可能的，有些难题和偏题，适当跳过也是必须的。

    ◆要有书看多遍的习惯。一本书看第二遍的时候，整个人的感觉都会不一样，觉得自己就像处在另外一个境界，很多问题一下就豁然开朗，这样的体验非常奇妙，而且能够给你带来实质性的帮助——经验式解题的形成，对于稳定联赛成绩，避免极端情况的发生，它具有关键性的作用。

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