谷运增老师奥数基础班班帖

曾丹丹

第6堂课
【上课时间】 8月20日
【课堂内容】数论基础三 约数倍数
1.约数个数定律
（1）分解质因数；
（2）（指数+1）再连乘。
例题：已知N=2^7*3^5*5^3*7^2，试求N有多少个约数？
分析：由约数定律求：(7+1)(5+1)(3+1)(2+1),计算结果即为约数个数。


易错题型：
题型一：已知M=2^3*4^2*5^3*7^2,试求M有多少个约数？
分析：约数个数定律是指分解的因数是质因数，才成立指数+1再连乘。
观察题，4不是质因数，先将其化成质因数形式在求约数个数。
M=2^3*(2^2)^2*5^3*7^2=2^7*5^3*7^2,所以M的约数个数为：(7+1)(3+1)(2+1)


题型二：已知1=1^2,请问1有多少个约数？
分析：因为1不是质数，所以约数个数定律不适用此题，故1只有1个约数.


2.约数个数定律逆用
知道约数个数——约数个数定律逆用
(1)根据约数个数——（质数+1）连乘的形式；
(2)根据（指数+1）的连乘形式——原数分解质因数以后的形式。


例题：已知一个数的质因数中只有3和5，且知道这个数是25的倍数，但不是125的倍数，小明记不清这个数有12个还是10个约数，请根据所学知识判断这个数有多少个约数，并求出这个数？
分析：数的质因数中只有3和5，且知道这个数是25的倍数，但不是125的倍数——得出该数分解质因数后5的指数为2，设3的质数为a,由题：(a+1)*(2+1)=10或者12，因为a为正整数，所以只能等于12，所以a=3,
因此，这个数有12个约数，这个数为3^3*5^2=675.


例题：有8个不同约数的自然数中，最小的一个数是多少？
分析：有8个不同的约数，分解成（指数+1）有三种形式，
(7+1)    (3+1)(1+1)    (1+1)(1+1)(1+1)
设原数为x,若x只有一个质因数，x=a^7,x最小,则a=2,x=128；
若x有两个质因数，x=a^3*b,x最小，则a=2,b=3,x=24；
若x有三个质因数，x=a*b*c,x最小，则a=2,b=3,c=5,x=30；
综上所述，最小为24。


3.求最大公约数
求最大公寓书三种方法
（1）：短除法；
（2）：分解质因数法；
（3）：辗转相除法。（用余数代替大数，直到两数存在倍数关系）

例题：一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余，且正方形边长要尽可能大，问这样的正方形边长是多少厘米？
分析：求正方形的边长即为求长宽的最大公约数，
因为求最大公约数前两种方法同学们较长用，所以此题用辗转相除法求，
2703/1113=2...477;
1113/477=2...159;
477/159=3,所以最大公约数为159，所以正方形边长为159厘米。
其他求法：面积法
要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余——面积前后不变。
长方形面积=2703*1113，见积就拆，分解质因数：2703*1113=3^2*7*17*53^2.
因为正方形的面积等于边长的平方，而2703*1113=3^2*7*17*53^2=(3*53)^2*7*17=159^2*7*17，所以可以看成是分成了（7*17）个边长为159厘米的正方形。


【作业】
今天的作业：例6以前除拓展外的题全做，拓展选做。昨天作业做得较好的同学：杨昕玥、王可蕾、李佳瑄、王馨、毛晓晗、王迪、张壹瑞、舒欣宜、付雪莹、李林恺。希望以上同学继续保持，其他同学加油哦。

【课堂纪律】
今天的还是有个别同学上课走神，请注意哦。总体来说，孩子们还是很乖，嘻嘻。


提醒各位同学和家长们：明天放假，不上课，孩儿们辛苦了，在家好好休息哦哦。第7堂课
【上课时间】 8月22日
【课堂内容】数论基础四  余数问题
重点1.带余除式的基本性质与注意事项
被除数/除数=商...余数；
转化形式：被除数=商*除数+余数；
特别注意：余数一定要小于除数。


例题：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是？
分析：设被除数为a,除数为b,则a/b=4...8,由此得出4b+8=a.
又因为a+b+4+8=415,所以4b+b+4+8=415,所以b=79。


例题：已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，那么这些自然数共有多少个？
分析：2008/x=m...10,则mx=2008-10=1998;
则x应该为1998的约数，且x必须大于10.
1998=2*3^3*37，由约数个数定律可知1998有"(1+1)(3+1)(1+1)=16"个约数，
注意除去1、2、3、6、9这无个小于10的约数，所以x有11种选择。


重点2.余数的可加、可减、可乘性（余数的非除性）
可加性：和的余数与余数的和余数相同；
可减性 : 差的余数与余数的差余数相同；

可乘性：积的余数与余数的积余数相同。


例题：(437+309+1993)/4的余数？
分析：除以4的余数看末两位，37/4余1，9/4余1,1993/4余1，所以(437+309+1993)/4余3.


例题：(437+309-1993)/4的余数？
分析：除以4的余数看末两位，37/4余1，9/4余1,1993/4余1，所以(437+309-1993)/4余1.


例题：(437*309*1993)/9的余数？
分析：除以9的余数看各位数字之和，437/9余5，309/9余3，1993/9余4，所以(437*309*1993)/9余6.


例题：(437*309+1993)/9的余数？
分析：除以9的余数看各位数字之和，437/9余5，309/9余3，1993/9余4，所以(437*309*1993)/9余1.


重点3.同余定理
同余定理：如果两个数除以M的余数相同，那么这两个数的差除以M余0，即这两个数的差为M的倍数。
（1）a、b除以M的余数相同——同余定理；
（2）a、b除以M的余数不同——利用余数性质化成同余；
（3）多问题中，先找除数，要找除数先找除数的倍数。


例题：学校买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三中物品剩下的数量相同。请问学校共有多少个班？
分析：利用同余定理，找出除数的倍数，再找出差的公约数。
118-67=51,67-33=34,因为51和34的最大的公约数为17，所以除数为17，所以有17个班。


例题：一个数去除70、103所的的余数为a、2a+2，求a的值？
分析：由余数可加可乘性得：(70*2+2)/x=m...2a+2，
又因为103/x=n...2a+2,利用同余定理知(70*2+2-103)/x=p.所以x为39的约数。
39的约数有1、3、13、39，经检验，x=13.


例题：有一个自然数，用它去除63、90、130都有余数，且3个余数的和为25，这三个余数中最大的一个数是多少?
分析：设自然数为x，63/x余r1,90/x余r2,130/x余r3,则(63+90+130)/x与(r1+r2+r3)/x同余，利用同余定理，
63+90+130-25=258，x为258的约数，又258=2*3*43，因为三个数都有余数,所以x不等于1、2、3、6，由x小于被除数，所以小于63，所以x不等于86、129，所以x=43.


今天做的例题都用到了谷老师上课就提出的代数思想，把文字语言的分析转化为数学算式的分析。


【作业】
今天的作业做所有的巩固。从上次作业情况来看，做的最好的是毛晓晗同学，16分，其次是沈思琪同学，10.5分。其他同学要努力哦。


【课堂纪律】
同学们表现比前两节课好，值得表扬，继续保持哦。

曾丹丹

第13讲
【上课时间】8月28号
【课堂内容】计数原理二 加乘原理
一.乘法原理（分步计数，步步相乘）
做一件事有N个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2中方法…则做这件事共有m1*m2*m3…*m(n)种方法。
①步与步之间相互配合，共同完成一件事，缺一不可；
②步与步之间先后顺序很重要，前面的步骤会影响后面的安排，一般情况下，优先考虑特殊元素和特殊位置。

二.加法原理（分类计数，类类相加）
做一件事有N个方法，第一方法有m1种方式，第二个有m2中方式…则做这件事共有m1+m2+m3…+m(n)种方法
①步与步之间相互独立，步与步可单独完成，两个不同类可同时出现（各步相互配合才能完成的任务必须同时出现）

例题：7个同学排队，分别求每种情况下游多少种排法？
（1）排成一排。
解析：排成一排，第一个位置有7种选择，第二个位置有6种选择...最后一个位置只有1中选择。
因此：N=7*6*5*4*3*2*1=5040;
(2)排成一排，小新站中间。
解析：中间位置人已经定了，剩下的6个位置，则按照（1）可知，
N=6*5*4*3*2*1=720；
（3）排成一排，小新、阿呆必须有一人站中间。
解析：由题，则中间位置有两种选择，确定中间位置的人后，剩下的6个人拍六个位置，同（2），
所以：N=2*6*5*4*3*2*1=1440；
（4）排成一排，小新、阿呆必须都站在两边。
解析：小新、阿呆必须都站在两边，有两种选择，剩下的5个人排五个位置，同（2），
所以。N=2*5*4*3*2*1=240；
（5）排成一排，小新、阿呆必须都没有站边上。
解析：小新、阿呆必须都没有站边上，第一步:则从剩下的5个人中选两个人站边上，选出的两个人谁站哪边有关系，所以：N1=5*4=20;第二步：剩下的5个人排5个位置，N2=5*4*3*2*1=120，
因此，N=N1*N2=2400.
(6)站成两排，前3人，后4人。
解析：无论站几排，没有其他要求，均是7个人排7个位置，
所以同（1）N=7*6*5*4*3*2*1=5040.
(7) 站成两排，前3人，后4人,小新和阿呆不在同一排。
解析：小新在第一排有3种选择,阿呆在第二排有4种选择，剩下的5个人排5个位置，同（2）
则N1=3*4*5*4*3*2*1=1440;
小新在第二排有4种选择,阿呆在第一排有3种选择，剩下的5个人排5个位置，同（2）
则N2=3*4*5*4*3*2*1=1440;
所以N=N1+N2=2880.

例题：学校图书馆书架上有科普书3本、故事书4本、外语书5本，现在小明要从中行选取两种类别不同的书各一本回家，问小明有多少种选法？
解析：选两种类别不同的书各一本，可以是科普+故事、科普+外语、
故事+外语
所以,N=3*4+4*5+3*5=47

例题：在1—30的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种取法？
解析:其和是3的倍数，按余数分类讨论
1—30中，除以3余0的有10个，除以3余1的有10个，除以3余2的有10个。
要选取的两个数的和是3的倍数，可以选两个余数为0的，或者选一个余数为1的和一个余数为2的
所以N=10*9/2+10*10=145(注意除以2是因为改种情况有重复，例如选3、6与选6、3是同种情况)

例题：用0、1、2、3、4、5可以组成多少个各位数字不同的四位偶数？
解析：若为偶数末位必为偶数，有因为0不能在首位。所以分两种情况讨论：
0在末位：则从剩下的5个数中选3个来排，N1=5*4*3=60;
0不在末位，则末位为2或4，即有两种可能，再看首位，0不能在首位，则从剩下的四个数中选一个来排，有4中可能，剩下4个数选2个来排，所以N2=2*4*4*3=96
所以N=N1+N2=156

例题：从1、2、3、4、5、6、7这7个数中选3个数，
（1）要使3个数的乘积为3的倍数，有多少种取法？
解析：为3的倍数，只要有一个数位3的倍数即可
3个数中有1个是3的倍数：N1=2*(5*4/2)=20;
3个数中有2个是散的倍数：N2=5;
所以，N=N1+N2=25
（2）要使3个数的和能被3的整除，有多少种取法？
解析：要使3个数的和能被3的整除，讨论余数。
除以3余0:3、6；除以3余1:1、4、7；除以3余2：2、5
同余：0+0+0、1+1+1、2+2+2；
两余：0+0+1、0+0+2、1+1+0、1+1+2、2+2+0、2+2+1；
三余：0+1+2.
所以N=2*3*2+1=13
提醒：【3数之和为3的倍数有两种情况：余0+余1+余2、余n+余n+余n】

例题：一个四位数ABCD,它的逆序数DCBA之和的末两位为56，这样的四位数有多少个？
解析：先列竖式，再分类。
情况1.D+A=6，C+B=5
D+A=6有5种情况，C+B=5有6种情况，所以N1=5*6=30;
情况2.D+A=6，C+B=15
D+A=6有5种情况，C+B=15有4种情况，所以N1=5*4=20;
情况3.D+A=16，C+B=4
D+A=16有3种情况，C+B=4有5种情况，所以N1=3*5=15;
情况4.D+A=16，C+B=14
D+A=16有3种情况，C+B=5有5种情况，所以N1=3*5=15
所以共有：30+20+15+15=80

【作业】
今天的作业做巩固题。提醒同学们哦，今天的内容虽然简单，但是容易出错，所以大家做题要细心哦。

【课堂纪律】
今天孩子们表现不是很好哦，谷老师上课多次提醒纪律哦，特别是侯天诺同学哦，以后上课，要认真听课啊。谷老师上课很辛苦啦，孩子们要乖乖听课哦。
【温馨提醒】
孩儿们，一个不幸的消息哦哦，30号下午一点补上次缺的课哦。

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曾丹丹

第8堂课
【上课时间】 8月23日
【课堂内容】五大模型一  共高与鸟头今天我们上课的主要内容：
1.两个基本模型：共高和鸟头；
2.面积一半模型；
3.两个解题技巧：标出分点，白最小分看成一份。
附带内容：勾股定理


等高模型：
例题：已知四边行ABCD中，CD=3DF,AE=3ED,三角形BFC的面积为6，四边形BEDF的面积为7，求大四边形ABCD的面积。解析：连接CD,三角形BCF和三角形BDF等高，又CD=3DF,所以2DF=CF,所以三角形BCF的面积：三角形BDF的面积=CF/DF=2：1;
三角形BDE与三角形BEA等高，又AE=3ED,所以面积比=DE:AE=1：3，由已知面积，即可求出大四边形ABCD的面积。


例题：一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则三角形ACD的面积是多少？


解析：三角形DEB与三角形ADE等高，所以面积之比=BE:AE,由题，将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，所以AE=6cm，且三角形ACD与三角形ADE面积相等，AC=6cm,BC=8cm，由勾股定理可知AB=10cm，所以BE=4cm，所以面积三角形DEB与三角形ADE之比=BE:AE=2:3，所以三角形ACD的面积也为3份，
所以，三角形ACD的面积=6*8*/2*[3/(3+3+2)]=9.


例题：三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。


解析：因为D是BC的中点，三角形ABD与三角形ADC等高,所以，三角形ABD与三角形ADC面积相等，
又因为三角形ADE与三角形DEC等高，且E是的AC的中点，所以，三角形ADE与三角形DEC面积相等，

同理，F是AD的中点，且三角形AEF与三角形EFD等高，所以，三角形AEF与三角形EFD面积相等，
根据以上3个关系以及大三角形的面积，即可求出三角形DEF的面积。


例题：一个边长为120的等边三角形，被分成了面积相等的五块，那么AE等于多少？


解析：根据面积相等推变得关系，因为三角形AEG与三角形DEG等高且面积相等,
所以，AE=ED,同理，由等高关系以及各个小三角形面积相等，可知三角形AGF与三角形ADF面积之比=GF/DF=1：3，
同理，BD:AB=1：4，因为AB=120，所以AB=30，AD=90，AE=45.

鸟头模型：
  

例题（有一等角）
三角形ABC中，AD:AB=2：3，AE:AC=4：5，求三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几分之几？

解析：由鸟头模型有一等角的性质知，三角形ADE的面积：三角形ABC面积=（AD:AB）*（AE:AC）=8/15


例题（有一堆互补角）
三角形ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5：2，AE:EC=3：2，三角形ADE的面积为12，求三角形ABC的面积。


解析：由鸟头模型有一互补角的性质知，三角形ADE的面积：三角形ABC面积=（AD/AB）*（AE/AC）=3/5
所以三角形ABC的面积=三角形ADE的面积/(3/5)=50.


例题：已知三角形DEF的面积为7，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求三角形ABC的面积。

解析：由鸟头模型有一等角的性质知，
S三角形BDE/S三角形ABC=(BD*BE)/(BA*BC)=1/6;
S三角形CEF/S三角形ABC=(CE*CF)/(CB*CA)=3/8;
S三角形ADF/S三角形ABC=(AD*AF)/(AB*AC)=1/6.
所以S三角形ABC=S三角形DEF/(1-1/6-3/8-1/6)=24.


面积一半模型：
      

【作业】
最后一道题选做，其余题全做00，孩子们好好做题哦，加油！昨天家庭作业做得好的同学：杨昕玥、舒欣宜、王馨、王可蕾。大家的作业做得越来越差了哦，是怎么回事呢？请家长们注意哦！

【课堂纪律】
今天的课堂气氛相当活跃啊，孩儿们继续保持哦！
第9堂课
【上课时间】 8月24日
【课堂内容】五大模型二 风筝与蝴蝶
重点一：风筝模型


例题：边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=DF,求三角形AEG的面积。
解析：连接EF,因为BE=2EC,CF=FD,所以S三角形DEF=(1/2*1/3*1/2)S正ABCD=1/12S正ABCD
因为S三角形AED=1/2S正ABCD,由风筝模型定理，AG:GF=1/2：1/12=6：1
所以S三角形AGD=6S三角形GDF=6/7S三角形ADF=6/7*1/4S正ABCD
所以S三角形AGE=S三角形AED-S三角形AGD=1/2S正ABCD-3/14S正ABCD=2/7S正ABCD=2/7.


重点模型二：蝴蝶模型
且：OA/OC=OD/OB=AD/BC

例题：一个长方形被一些直线分成若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积。

解析：连接EF,显然ADEF和BCEF都是梯形，
所以S三角形EFG=S三角形ADG,    S三角形BCH=S三角形EFH.
所以四边形EGFH的面积是11+23=34.

例题：正方形ABCD的面积为3平方厘米，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。

解析：因为M是AD边上的中点，所以AM/BC=1/2，根据蝴蝶定理可知道
S三角形AMG:S三角形ABC:S三角形MCG:S三角形BCG=(1^2)/(1*2)/(1*2)/(2^2)=1:2:2:4
设S三角形AMG为1份，则S三角形MCD=1+2=3份，所以正方形ABCD为1+2+2+4+3=12份，
S阴影=2+2=4份，所以S正：S阴影=3:1，所以S阴影=1.


格点多边形与毕克定理：
格点多边形是顶点在格点上且边长为直线的多边形。
正方形格点与面积公式：内点+边点/2-1；
三角形格点与面积公式：2*（内点+边点/2-1）。

例题：在一个边长为6 的正方形中放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点和小正方形的两个顶点，形成图中阴影，求阴影部分面积。

解析：将小正方形与大正方形同一角度的顶点连接，图中便有4个梯形，由蝴蝶模型，已知上底：下底=1:3，可知每个梯形中阴影占7/16，所以阴影占所有梯形面积和的7/16，梯形面积=S大正方形-S小正方形=6*6-2*2=32，
所以S阴影=32*(7/16)=14.

补充内容：三角形的中位线
三角形两边的中点的连线与第三边平行，且等于第三边的一半。


【作业】
今天的作业做讲义上剩下的题哈，孩儿们辛苦了！昨天的作业王馨、张壹瑞、涂睿森、王迪四位同学做的很好，继续保持哦，其他同学也要加油哦。

【课堂纪律】
今天孩儿们表现很好，继续保持哦。乖乖们，加油哦哦！

曾丹丹

曾丹丹 发表于 2013-8-23 18:25
第8堂课
【上课时间】 8月23日
【课堂内容】五大模型一  共高与鸟头今天我们上课的主要内容：

第10讲
上课时间  8月25号
【课堂内容】燕尾模型与相似
重点模型：燕尾模型
燕尾模型最大的用处：
在三角形中连接两条“顶分线”，这样三角形被分为四部分，我们可以借助燕尾模型求出各部分占总体面积的几分之几。

S三角形ABO:S三角形AOC=BD:CD    S三角形BOC:S三角形ABO=CE:EA    S三角形BOC:S三角形CAO=BF:FA

注意：燕尾模型可以存在任何一个三角形中。

例题：已知三角形ABD的你面积是5，ACD的面积是20，BCD的面积是14，求CDE的面积？
解析：由燕尾模型，S三角形ABD:S三角形ADC=BE:EC=3:4，
又因为：S三角形BDE:S三角形DCE=BE:EC=3:4,所以S三角形DCE=8.

例题：三角形ABC的面积是1，BD=2DC,CE=2AE,AD与BE相交于点F,求四部分的面积。
解析：燕尾模型,S三角形ABF:S三角形AFC=S三角形BDF:S三角形CFD=BD/DC=2:1
S三角形ABF:S三角形BFC=S三角形AEF:S三角形EFC=AE:EC=1:2，设最小部分为1份，按比例关系求出各部分的比即可，再求面积值。

例题：在三角形ABC中，DC/DB=EA/EC=FB/FA=1/3，求S三角形GHI/S三角形ABC的值。
解析：思路整体看做单位1，减去周边空白。
先不看CF这根线，利用燕尾模型求出S三角形ABH占整体的3/13，同理可求出S三角形AGC和S三角形CIB占整体的3/13。（条件同结果同）
整体1-3*(3/13)=4/13.

例题：三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问S三角形BOF、S三角形AOE的大小？

解析：设S三角形BOF为x，S三角形AOE为y。
因为：S三角形AOB:S三角形AOC=S三角形BOD:S三角形DOC
S三角形BOC:S三角形ABO=S三角形COE:S三角形AOE
所以(216+x)/(45+y)=80/40,(216+x)/(80+40)=y/45
解得x=144,y=135

例题：三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于M，已知S三角形ABM比四边形FCGN的面积大7.2，则S三角形ABC的面积是多少？
解析：连接MC、NC，利用燕尾模型求出各部分面积的份数，由计算，可得到S三角形ABM占整体的1/5，S四边形FCNG占整体的5/28，又因为，已知S三角形ABM比四边形FCGN的面积大7.2
1/5-5/28=3/140,所以S三角形ABC的面积是：7.2/(3/140)=336

三角形相似，线段对应成比例，面积比等于相似比的平方。

例题：四边形ABCD的边长是12的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得EF的长为4，那么三角形GDC的面积是多少？
解析：易知，三角形GEF相似于三角形GDC,因为EF/DC=1/3,所以S三角形GEF/S三角形GDC=1/9，所以S三角形GEF/梯形EFDC=1:8，
梯形的面积可求得为：(4+12)*12/2=96,所以S三角形GEF=96/(8/9)=108

【作业】
今天的作业做将以上剩下的内容，孩子们辛苦啦，好好做哦。

【课堂纪律】
最近孩子们表现越来好了，真乖，嘻嘻。老师好喜欢哦。

第11讲
上课时间  8月26号
【课堂内容】五大模型综合回顾

S三角形ABD/S三角形ADC=(BD*H/2)/(DC*H/2)=BD/DC

S1/S2=OA/OC=S4/S3——S1*S3=S2*S4   OA/OC=S三角形DAB/S三角形DCB
小学奥数中，求线段比最好的模型

S三角形AOB/S三角形AOC=(S三角形ADB-S三角形ODB)/(S三角形ADC-S三角形ODC)=BD/DC
在三角形中连接两条“顶分线”，这样三角形被分为四部分，我们可以借助燕尾模型求出各部分占总体面积的几分之几。

三角形ADE与三角形ABC在A出有一对等角——S三角形ADE/S三角形ABC=AD/AB*(AE/AC)

三角形ADE与三角形ABC在A有一补角——S三角形ADE/S三角形ABC=AD/AB*(AE/AC)
用于求三角形上就被切掉的占那一块整体的几分之几。

面积比例只跟上下底有必然关系，跟高无关。
S2=S4，S1*S3=S2^2=S4^2
OA/OC=OD/OB=AD/BC
S1=上底^2(份)，S3=下底^2(份)，S2=S4=上底*下底(份)
用于借助上下底的线段比，把梯形的面积按份数分割。

遇到图形，做题时需掌握的技巧：
1.求中间悬空，前不着村后不着店的面积，用：整体—周边；
2.求线段比，找风筝模型；
3.要找小，先找大，利用风筝找大小比例关系；
4.看有没有带对角线的梯形，这是个好东西；
5.在不规则四边形中，常用做辅助线的方法，连接对角线把它化成两个三角形。

今天谷老师给大家说了一点：做题，第一是思路，第二是方法。
同学们要牢牢记住，一定将所学知识记住加以灵活运用，做题时才能如鱼得水。怎样才能达到次效果呢？小曾老师个人觉得多做相关练习方能如此。同学们要努力哦。

【作业】
把今天所做题再重新做一遍，希望同学们对自己负责，不要看做过的答案，也希望各位家长们对自己的孩子负责。

【课堂纪律】
今天孩子们表现不是很好哦，后边的一些同学，没有认真听课哦，要及时改正，专心听讲。时时告诉自己，错过的内容一定是最重要的。孩子们要加油哦哦，还有几天了就要开学了，好好珍惜最后的这几天，抓紧学习吧。

曾丹丹

第12讲
【上课时间】8月27号
【课堂内容】计数原理一 枚举
1.分类枚举
例题：把12拆成不超过9的3个自然数之和，相同的三个数交换顺序算同一种拆法，如9+2+1与2+9+1算同一种拆法，问有多少种拆法？
解析：做这类型题，我们只能一一列举出来，怎样列举才能做到不重不漏呢？这就要用到今天所学知识，分类枚举。
提示：0也是自然数，不可遗漏。
9+3+0       9+2+1        8+4+0         8+3+1         8+2+2
7+5+0       7+4+1        7+3+2         6+6+0         6+5+1
6+4+2       6+3+3        5+5+2         5+4+3         4+4+4
注意：观察分类枚举的规律，千万不要随便列举，那样容易漏写。

例题：称n个相同的数a叫做a的n次方，记做a^n,并规定a^0=1，如果某个自然数可以写成2的两个不同次方（包括零次方）的和，我们就称这样的数为“双子数”，如9=2^3+2^0, 36=2^5+2^2,他们都是双子数，那么小于1040的数有多少个。
解析：①把小余1040的2的次方列举出来；
2^0=1  2^1=2  2^2=4  2^3=8  2^4=16  2^5=32  2^6=64  2^7=128   2^8=256   2^9=512   2^10=1024
②按两数中最大的术士多少进行分类：
大数为2^10,则小数为2^0、2^1、2^2、2^3；
大数为2^9,则小数2^0、2^1、2^2、2^3、2^4、2^5、2^6、2^7、2^8；
大数为2^8, 则小数2^0、2^1、2^2、2^3、2^4、2^5、2^6、2^7;
大数为2^7, 则小数2^0、2^1、2^2、2^3、2^4、2^5、2^6；
┇
大数为2^1,则小数为2^0.
∴：小于1040的双子数有：4+9+8+…1=49（个）。
注意：除0以外，任何数的0次方等于1,0的0次方无意义。

例题：五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒，一个礼品配一个包装盒，共有多少种价格？
解析：注意读清楚题意，多少种不同的价格，而不是多少种搭配方式。
首先，把每一种搭配方式的价格列出来，在观察有多少种相同的。
3        6       9       12       15
5        8       11      14       17
7        11      13      16       19
9        12      15      18       21
11       14      17      20       23
去掉相同的数字，可得一个有19种价格。

例题：从1、2、3、4、5、6中选取若干个数，使得他们的和是3的倍数而不是5的倍数，那么共有多少种不同的取法。
解析：①把符合题意的和的可能取值枚举出来3、6、9、12、18、21；
②再根据和等于多少进行分类：
和为3:3 、12
和为6:6、123、15、24；
和为9:36、45、126、234、135；
和为12：345、1236、1245、156、246；
和为18：3456、12456；
和为21:123456.
所以共有19种。

例题：给定三种重量的砝码（没种数量足够多）3kg、7kg、11kg，将他们组合成100kg有多少种不同的组合方法？（每种砝码至少用一次）
解析：足以括号内的文字，谷老师今天强调，括号内的文字是及其重要的。
设3kg、7kg、11kg的砝码个有x、y、z个，
则：3x+7y+11z=100
观察，并分析，z的常数最大，所以z的取值不会很大，
按z的取值分类讨论:
Z=1,则3x+7y=89,
可能的结果有：
（x=25,y=2）（x=18,y=5）（x=11,y=8）（x=4,y=11）
同理按此方法讨论，z为其他值时的可能情况。
此题补充知识：ax+by=c（a、b互质）的解中:
x为等差数列，且公差为b;
y为等差数列，且公差为a.
有了这个知识点，同学们解答上题也更加容易。

2.树形图枚举法：
（1）树形图：分支少得时候使用，否则过于繁杂；
（2）使用树形图时注意观察是否有对称形式。
例题：有些四位数的各位数字均取自1、2、3、4、5（可重复选取），并且任意相邻两位数字（大减小）的差的是1，则这样的四位数共有多少个？
解析：这类题型使用树形图就方便解答，且不容易出错。
画出树形图，
1开始的，2开始的…5开始的分别画出来即可。

今天需要重点掌握的知识点：
1.枚举的时候要按一定顺序，否则容易重复遗漏；
2.枚举的时候可以先分类，在对每一类进行枚举；
3.枚举的时候要找规律。
4.理解不定方程的规律：
ax+by=c（a、b互质）的解中:
x为等差数列，且公差为b;
y为等差数列，且公差为a.

【作业】
做讲义上剩下的作业，孩子们要认真完成哦。今天的内容很简单，做题应该不难哦。嘻嘻。
【课堂纪律】
后面的同学比作天好很多了，表扬哈哦哦。嘿嘿，大家记得早点来学校哦哦嘻嘻。
第13讲
【上课时间】8月28号
【课堂内容】计数原理二 加乘原理
一.乘法原理（分步计数，步步相乘）
做一件事有N个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2中方法…则做这件事共有m1*m2*m3…*m(n)种方法。
①步与步之间相互配合，共同完成一件事，缺一不可；
②步与步之间先后顺序很重要，前面的步骤会影响后面的安排，一般情况下，优先考虑特殊元素和特殊位置。

二.加法原理（分类计数，类类相加）
做一件事有N个方法，第一方法有m1种方式，第二个有m2中方式…则做这件事共有m1+m2+m3…+m(n)种方法
①步与步之间相互独立，步与步可单独完成，两个不同类可同时出现（各步相互配合才能完成的任务必须同时出现）

例题：7个同学排队，分别求每种情况下游多少种排法？
（1）排成一排。
解析：排成一排，第一个位置有7种选择，第二个位置有6种选择...最后一个位置只有1中选择。
因此：N=7*6*5*4*3*2*1=5040;
(2)排成一排，小新站中间。
解析：中间位置人已经定了，剩下的6个位置，则按照（1）可知，
N=6*5*4*3*2*1=720；
（3）排成一排，小新、阿呆必须有一人站中间。
解析：由题，则中间位置有两种选择，确定中间位置的人后，剩下的6个人拍六个位置，同（2），
所以：N=2*6*5*4*3*2*1=1440；
（4）排成一排，小新、阿呆必须都站在两边。
解析：小新、阿呆必须都站在两边，有两种选择，剩下的5个人排五个位置，同（2），
所以。N=2*5*4*3*2*1=240；
（5）排成一排，小新、阿呆必须都没有站边上。
解析：小新、阿呆必须都没有站边上，第一步:则从剩下的5个人中选两个人站边上，选出的两个人谁站哪边有关系，所以：N1=5*4=20;第二步：剩下的5个人排5个位置，N2=5*4*3*2*1=120，
因此，N=N1*N2=2400.
(6)站成两排，前3人，后4人。
解析：无论站几排，没有其他要求，均是7个人排7个位置，
所以同（1）N=7*6*5*4*3*2*1=5040.
(7) 站成两排，前3人，后4人,小新和阿呆不在同一排。
解析：小新在第一排有3种选择,阿呆在第二排有4种选择，剩下的5个人排5个位置，同（2）
则N1=3*4*5*4*3*2*1=1440;
小新在第二排有4种选择,阿呆在第一排有3种选择，剩下的5个人排5个位置，同（2）
则N2=3*4*5*4*3*2*1=1440;
所以N=N1+N2=2880.

例题：学校图书馆书架上有科普书3本、故事书4本、外语书5本，现在小明要从中行选取两种类别不同的书各一本回家，问小明有多少种选法？
解析：选两种类别不同的书各一本，可以是科普+故事、科普+外语、
故事+外语
所以,N=3*4+4*5+3*5=47

例题：在1—30的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种取法？
解析:其和是3的倍数，按余数分类讨论
1—30中，除以3余0的有10个，除以3余1的有10个，除以3余2的有10个。
要选取的两个数的和是3的倍数，可以选两个余数为0的，或者选一个余数为1的和一个余数为2的
所以N=10*9/2+10*10=145(注意除以2是因为改种情况有重复，例如选3、6与选6、3是同种情况)

例题：用0、1、2、3、4、5可以组成多少个各位数字不同的四位偶数？
解析：若为偶数末位必为偶数，有因为0不能在首位。所以分两种情况讨论：
0在末位：则从剩下的5个数中选3个来排，N1=5*4*3=60;
0不在末位，则末位为2或4，即有两种可能，再看首位，0不能在首位，则从剩下的四个数中选一个来排，有4中可能，剩下4个数选2个来排，所以N2=2*4*4*3=96
所以N=N1+N2=156

例题：从1、2、3、4、5、6、7这7个数中选3个数，
（1）要使3个数的乘积为3的倍数，有多少种取法？
解析：为3的倍数，只要有一个数位3的倍数即可
3个数中有1个是3的倍数：N1=2*(5*4/2)=20;
3个数中有2个是散的倍数：N2=5;
所以，N=N1+N2=25
（2）要使3个数的和能被3的整除，有多少种取法？
解析：要使3个数的和能被3的整除，讨论余数。
除以3余0:3、6；除以3余1:1、4、7；除以3余2：2、5
同余：0+0+0、1+1+1、2+2+2；
两余：0+0+1、0+0+2、1+1+0、1+1+2、2+2+0、2+2+1；
三余：0+1+2.
所以N=2*3*2+1=13
提醒：【3数之和为3的倍数有两种情况：余0+余1+余2、余n+余n+余n】

例题：一个四位数ABCD,它的逆序数DCBA之和的末两位为56，这样的四位数有多少个？
解析：先列竖式，再分类。
情况1.D+A=6，C+B=5
D+A=6有5种情况，C+B=5有6种情况，所以N1=5*6=30;
情况2.D+A=6，C+B=15
D+A=6有5种情况，C+B=15有4种情况，所以N1=5*4=20;
情况3.D+A=16，C+B=4
D+A=16有3种情况，C+B=4有5种情况，所以N1=3*5=15;
情况4.D+A=16，C+B=14
D+A=16有3种情况，C+B=5有5种情况，所以N1=3*5=15
所以共有：30+20+15+15=80

【作业】
今天的作业做巩固题。提醒同学们哦，今天的内容虽然简单，但是容易出错，所以大家做题要细心哦。

【课堂纪律】
今天孩子们表现不是很好哦，谷老师上课多次提醒纪律哦，特别是侯天诺同学哦，以后上课，要认真听课啊。谷老师上课很辛苦啦，孩子们要乖乖听课哦。
【温馨提醒】
孩儿们，一个不幸的消息哦哦，30号下午一点补上次缺的课哦。

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谢谢小曾老师！

曾丹丹

不谢谢啦啦，我只是在做好我该做的事啦，嘻嘻，继续努力。，还需要改善和提高哇。

今天的内容还没上传哇？

曾丹丹

第14讲
【上课时间】8月29号【注意】
由于word里面编辑的排列组合的式子在这里面显示不了，请大家大群共享里面看今天的内容。
【课堂内容】计数原理三 排列组合
重点一：排列
定义：从给定的个数的元素中选出指定个数的元素进行排序，研究有多少种不同的排列方法，排列用字母A表示。比如A_8^3表示的含义是“从8个不同的元素中选出3个来进行排队，看有多少种不同的排列方式”。
1.排列包含的两层含义：①把元素选出来；②把元素排列好。
2.排列的计算公式：A_m^n=m(m-1)()m-2)…(m-n+1)
重点二：组合
定义：从给定的个数的元素中选出指定个数的元素，研究有多少种不同的选择方法，排列用字母C表示。比如C_8^3表示的含义是“从8个不同的元素中选出3个，看有多少种不同的选择方式”。
1.组合的含义：把元素选出来。
2.组合的计算公式：：A_m^n表示两步工作：①从m个元素中选出n个来，②对n个元素进行排列，根据乘法原理，A_m^n=C_m^n×A_n^n,由此，我们推出组合的计算公式为：C_m^n=(A_m^n)/(A_n^n )

【温馨提醒】注意区分排列和组合的内在联系及其不同之处。

例题：计算
A_10^3=10×9×8=720                  C_8^3=(A_8^3)/(A_3^3 )=(8×7×6)/(3×2×1)=56

例题：1）从10个人中选出3个去辅导奥巴马学汉语，问有多少种不同的选法？
解析：从10人中选出3个来去辅导奥巴马，而选出的3个人并不要求排序，所以此题应为组合类型题，
所以：C_10^3=120
2)从10个人中选出3个人来，一个辅导奥巴马学汉语，一辅导他学拉丁，一个辅导他学唱歌，问有多少种不同的排列方式？
解析：从10人中选出3个，这三个人谁辅导奥巴马学什么是不同的，所以需要再把这选出的3人排序，故为排列
所以：A_10^3=720

例题：裘派带着小乒、小乓、小球一行4人去参加聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个，
1）小乒替大家去领球，一共选了四个，有多少种选法？
解析：只要选出4个球就行，并不需要排序，所以C_12^4=495
2）小乓吧领来的4个球分给大家，有多少种分法？
解析：4个不同的求分给4个人，所以：A_4^4=24
3)若果直接从12个球中选四个分给这4个人，有多少种分法？
解析：从12个球中选出4个，选出的4个球，是不同的，到底谁分到哪个，是有区别的，所以为排列
即，A_12^4=11880

例题：周年末大扫除，老师要从10个男生和10个女生中选出5人打扫卫生，
1）如果老师随意选择，一共有多少种选法？
解析：只要选出五个人就行，管他是男生还是女生哦，所以，此题用组合：C_20^5=15504
2)如果老师决定选出2个男生和3个女生，有多少种选法？
解析：需要选出5个人，这5个人都同时需要，所以不用加法。
而且选出来就可以，不用排列。
所以C_10^2×C_10^3=5400

例题：若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”，问一共有多少“上升的”自然数？
解析：每个数字小于其右边的所有数字，这是做题的关键点。
由这个可以知道上升数最少两位数最多九位数，且上升数中不含0
从1—9这九个数中任意选两个或多个，都可以够成一个上升数，且这个上升数是唯一决定的，所以
N=C_9^2+C_9^3+…+C_9^9=2^9-C_9^0-C_9^1=502
补充知识：C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n=2^n

例题：在1、2、3、4、5的所有排列a1、a2、a3、a4、a5中，满足a1>a2,a3>a2,a3>a4,a5>a4,的不同排列有多少个？
解析：遇到此类题，将它翻译成图，写有阴影的就应该是a1、a2、a3、a4、a5依次从左往右属于一格



阴影中的数小于空格，所以1一定在阴影处，5、4一定不在阴影处
2、3可能在阴影处；
（1）2在阴影处，则N1=A_2^2 A_3^3=12;
（2）3在阴影处，因为2不再阴影处1在，所以2的位置是一定的，所以N2=A_2^2 A_2^2=4;
所以,N=N1+N2=16
例题：12个人中已知4个人会翻译英语，6个人会翻译法语，其余两人英语法语都会翻译，要从12人中选6名翻译，3个去翻译英语，3个去翻译法语，有多少种中选法?
解析：首先我们读完题目，要明确这是一个组合题，其次在分析怎么做。
4个会翻译英语→6个会翻译法语→2个英法都会
需要3个英语翻译、3个法语翻译
此题关键在于有两个人英法都会翻译
所以我们根据到底选不选他二人为类分：
不选这2人：C_4^3 C_6^3
在这2人中选一个为英语翻译：C_2^1 C_4^2 C_6^3
在这2人中选两个为英语翻译：C_2^2 C_4^1 C_6^3
在这2人中选一个为法语翻译：C_2^1 C_4^3 C_6^2
在这2人中选两个为法语翻译：C_2^2 C_4^3 C_6^1
在这2个人中选一个为英语翻译，一个为法语翻译：C_2^1 C_4^2 C_6^2 C_1^1
在把这些情况的结果加起来。

【作业】
今天的作业做讲义上的巩固，嘻嘻，孩子们辛苦啦，明天要考试哦，好好复习，加油啦啦。

【课堂纪律】
今天孩子们表现比昨天好，表扬哈哈。

【温馨提醒】
今天的例7我们帅气的谷老师不小心写错了一个式子，大家按班帖修改一下哦，嘻嘻。明天就要结束暑期的课了，开心也痛苦吧，因为马上又要开学了，嘻嘻。同学们要记住，学习一定要踏实，学习一定要勤于思考。无论在怎样的学习环境中，都要努力克服环境带来的困难，尽快去适应新的环境，加油吧。小曾老师也是学生，能够体会同学们的辛苦，但每一份付出都将收获结果，每一滴汗水最终都将化为你们脸上的微笑。或许你不是因为喜欢奥数才来学习，想想教室后面那一张张脸，他们之中也许并没有没有你的家人，但请你们记住，可怜天下父母心！为了他们，更为了自己，要好好的努力学习。你们是一群可爱聪明的孩子，相信你们一定能行，一定能学得出色。就算长风破浪，你们也一定可以直挂云帆济沧海！